Question

如图，在平面直角坐标系中，⊙C与y轴相切，且C点坐标为（1，0），直线l过点A（-1，0），与⊙C相切于点D，求：
（1）点D的坐标；
（2）直线l的解析式．

Answer 1

考点：切线的性质,待定系数法求一次函数解析式

专题：

分析：（1）连接CD，由于直线l为⊙C的切线，故CD⊥AD．C点坐标为（1，0），故OC=1，即⊙C的半径为1，由点A的坐标为（-1，0），可求出∠CAD=30度．作DE⊥AC于E点，则∠CDE=∠CAD=30°，可求出CE，进而得出OE，DE，得出点D的坐标．
（2）设直线l的函数解析式为y=kx+b，把A，D两点的坐标代入即可求出未知数的值从而求出其解析式．

解答：解：（1）如图所示，当直线l在x轴的上方时，
连接CD，
∵直线l为⊙C的切线，
∴CD⊥AD．
∵C点坐标为（1，0），
∴OC=1，即⊙C的半径为1，
∴CD=OC=1．
又∵点A的坐标为（-1，0），
∴AC=2，
∴∠CAD=30°，
∴AD=

3

，DE=

3

2

，AE=

3

2

，
∴OE=

1

2

，
∴D（

1

2

，

3

2

），
（2）设直线l解析式为：y=kx+b（k≠0），则，
解得k=

3

3

，b=

3

3

，
∴直线l的函数解析式为y=

3

3

x+

3

3

．
同理可得，当直线l在x轴的下方时，直线l的函数解析式为y=-

3

3

x-

3

3

．
故直线l的函数解析式为y=

3

3

x+

3

3

或y=-

3

3

x-

3

3

．

点评：本题把求一次函数的解析式与圆的性质相结合，增加了题目的难度，解答此题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形，利用解直角三角形的知识解答．