Question

17．如图，AD为△ABC中BC边上的中线（AB＞AC）
（1）求证：AB-AC＜2AD＜AB+AC；
（2）若AB=8cm，AC=5cm，求AD的取值范围．

Answer 1

分析 （1）延长AD至E，使AD=DE，连接BE，然后再证明△ACD≌△EBD，根据全等三角形的性质可得AC=BE，再根据三角形的三边关系可得AB-AC＜AE＜AB+BE，利用等量代换可得AB-AC＜2AD＜AB+AC；
（2）把AB=8cm，AC=5cm代入（1）的结论里，再解不等式即可．

解答 （1）证明：如图延长AD至E，使AD=DE，连接BE．
在△ACD和△EBD中：$\left\{\begin{array}{l}{DC=BD}\\{∠ADC=BDE}\\{AD=DE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△EBD（SAS），
∴AC=BE（全等三角形的对应边相等），
在△ABE中，由三角形的三边关系可得AB-AC＜AE＜AB+BE，
即AB-AC＜2AD＜AB+AC；

（2）解：∵AB=8cm，AC=5cm，
∴8-5＜2AD＜8+5，
∴$\frac{3}{2}$＜AD＜$\frac{13}{2}$．

点评 此题主要考查了三角形的三边关系，以及全等三角形的判定与性质，关键是掌握三角形两边之和大于第三边．三角形的两边差小于第三边．