Question

已知抛物线交x轴于A（1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，其顶点为D。

（1）求b、c的值并写出抛物线的对称轴；
（2）连接BC，过点O作直线OE⊥BC交抛物线的对称轴于点E。求证：四边形ODBE是等腰梯形；
（3）抛物线上是否存在点Q，使得△OBQ的面积等于四边形ODBE的面积的？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）求出：b=-4，c=3，抛物线的对称轴为：x=2； （2）抛物线的解析式为，易得C点坐标为（0，3），D点坐标为（2，-1）， 设抛物线的对称轴DE交x轴于点F，易得F点坐标为（2，0）， 连接OD，DB，BE， ∵△OBC是等腰直角三角形，△DFB也是等腰直角三角形，E点坐标为（2，2）， ∴∠BOE=∠OBD=45°， ∴OE∥BD， ∴四边形ODBE是梯形， 在Rt△ODF和Rt△EBF中， OD=，BE=， ∴OD=BE， ∴四边形ODBE是等腰梯形； （3）存在， 由题意得：， 设点Q坐标为（x，y）， 由题意得：， ∴， 当y=1时，即， ∴， ∴Q点坐标为（2+，1）或（2-，1）， 当y=-1时，即，∴x=2， ∴Q点坐标为（2，-1）， 综上所述，抛物线上存在三点Q1（2+，1），Q2（2-，1），Q3（2，-1）， 使得。