Question

已知：如图，在△ABC中，点D是BC中点，点E是AC中点，且AD⊥BC，BE⊥AC，BE，AD相交于点G，过点B作BF∥AC交AD的延长线于点F，DF=6．
（1）求AE的长；
（2）求

S△AEG

S△FBG

的值．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据等边三角形的性质和判定推出∠C=60°，求出∠CBF=60°，∠F=30°，解直角三角形求出BD，即可得出答案；
（2）求出BF长，根据相似三角形的性质和判定得出即可．

解答：解：（1）∵在△ABC中，点D是BC中点，点E是AC中点，且AD⊥BC，BE⊥AC，
∴AC=AB=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠C=60°，
∵BF∥AC，
∴∠CBF=∠C=60°，
∵AD⊥BC，
∴∠FDB=90°，
∴∠F=30°，
∵DF=6，
∴BD=2

3

，
∵AE=EC=BD=DC，
∴AE=2

3

；

（2）∵∠BDF=90°，∠F=30°，BD=2

3

，
∴BF=2DB=4

3

，
∵AC∥BF，
∴△AEG∽△FBG，
∴

S△AEG

S△FBG

=（

AE

BF

）²=

1

4

．

点评：本题考查了含30度角的直角三角形性质，勾股定理，解直角三角形，平行线的性质，相似三角形的性质和判定的应用，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方．