Question

如图，正方形ABCD的边长为2，P是△BCD内一动点，过点P作PM⊥AB于M，PN⊥AD于N，分别于对角线BD相交于点E，F．记PM=a，PN=b，当点P运动时，ab=2．
（1）求证：EF²=BE²+DF²；
（2）求证：△ABF∽△EDA，并求∠EAF的度数；
（3）设△AEF的面积为S，试探究S是否存在最小值？若存在，请求出S的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）根据题意得出四边形AMPN是矩形，故△BME、△DNF、△PEF均为等腰直角三角形，再根据勾股定理即可得出结论；
（2）同（1）得出四边形AMPN是矩形，故PM∥AN，NP∥AM，根据平行线分线段成比例定理可得出DE•BF=

2

AM•

2

AN=2ab，故可得出

DE

AB

=

AD

BF

，由相似三角形的判定定理得出△ABF∽△EDA，根据相似三角形的对应角相等即可得出结论；
（3）根据S=S_△ABD-S_△ABE-S_△ADF=

1

2

AB²-

1

2

AB•ME-

1

2

AD•FN可得出S=（

a

-

b

）²+2

2

-2，再由（

a

-

b

）²≥0即可得出结论．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是边长为2的正方形，
∴AB=AD=2，∠ABF=∠ADE=45°，
∵PM⊥AB，PN⊥AD，
∴四边形AMPN是矩形，
∴△BME、△DNF、△PEF均为等腰直角三角形，
∵PM=a，PN=b，
∴BM=EM=2-b，DN=FN=2-a，PE=PF=a+b-2，
∴DF²=2（2-a）²=2a²-8a+8，
BE²=2（2-b）²=2b²-8b+8，
EF²=2（a+b-2）²=2a²+4ab+2b²-8a-8b+8，
∵ab=2，
∴EF²=2a²+2b²-8a-8b+16，
∴EF²=BE²+DF²；

（2）证明：∵四边形ABCD是边长为2的正方形，
∴AB=AD=2，∠ABF=∠ADE=45°，
∵PM⊥AB，PN⊥AD，
∴四边形AMPN是矩形，
∴PM∥AN，NP∥AM，
∴

DE

AM

=

BD

AB

=

2

，

BF

AN

=

BD

AD

=

2

，
∴DE=

2

AM，BF=

2

AN，
∴DE•BF=

2

AM•

2

AN=2ab，
∵ab=2，
∴DE•BF=4，
∴DE•BF=AB•AD，即

DE

AB

=

AD

BF

，
又∵∠ABF=∠EDA=45°，
∴△ABF∽△EDA，
∴∠BAF=∠AED，
∵∠BAF=∠EAF+∠BAE，∠AED=∠ABF+∠BAE，
∴∠EAF=∠ABF=45°；

（3）解：S=S_△ABD-S_△ABE-S_△ADF
=

1

2

AB²-

1

2

AB•ME-

1

2

AD•FN
=

1

2

×2²-

1

2

×2×（2-b）+

1

2

×2×（2-a）
=a+b-2
=（

a

）²+（

b

）²-2

ab

+2

ab

-2
=（

a

-

b

）²+2

ab

-2
∵ab=2，
∴S=（

a

-

b

）²+2

2

-2，
∵（

a

-

b

）²≥0，
∴当

a

-

b

=0，即a=b=

2

时，S有最小值，且S_最小=2

2

-2．

点评：本题考查的是四边形综合题，涉及到正方形的性质、三角形的面积公式及相似三角形的判定等知识，难度较大．