Question

20．已知，如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B=120°，点M从A开始，以每秒1个单位的速度向点B运动；点N从点C出发，沿C→D→A方向，以每秒2个单位的速度向点A运动，若M、N同时出发，其中一点到达终点时，另一个点也停止运动．运动的时间为t秒，过点N作NQ⊥CD交AC于点Q．
（1）求菱形ABCD的面积；
（2）设△AMQ的面积为S，直接写出S与t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）在点M、N运动过程中，是否存在t值，使得△AMQ为等腰三角形，若存在，请求出t的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）已知边长及∠B=120°，不难求出∠ABO的度数为60°，从而求得AC及BD的长，易求该菱形的面积；
（2）当0≤t≤4时，N在CD上，首先求得CQ，则AQ长即可求得，再根据△CAB=30°，AM=t，据此即可求得△AMQ的长；
当4＜t≤8时，利用相似求得AQ的长，进而求得△AMQ的面积，得到函数解析式；
（3）若△AMQ为等腰三角形，则AM=MQ或AQ=QM或QA=AM，当AM=MQ时有△AMQ∽△ABC，求得AQ，根据相似三角形的对应边的比相等，从而列方程求得t的值；同理当AQ=QM时有△AMQ∽△ACB，求得t的值；当QA=AM时，即可列方程求解．

解答 解：（1）解：∵四边形ABCD是菱形，∠B=120°，
∴AC⊥BD．
在Rt△AOB中，∵∠ABO=$\frac{1}{2}$×120°=60°，AB=2，
∴∠BAO=30°，
∴BO=$\frac{1}{2}$AB=1，AO=$\sqrt{3}$，
∵AO=$\frac{1}{2}$AC，BO=$\frac{1}{2}$BD，
∴AC=2AO=2$\sqrt{3}$，BD=2BO=2．
∴菱形ABCD的面积=$\frac{1}{2}$AC•BD=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×2=2$\sqrt{3}$；

（2）由题意得，AM=t，
当0≤t≤4时，CN=2t，
∵∠D=120°，
∴∠DCA=30°，AC=8$\sqrt{3}$，
∴在Rt△CNQ中，NQ=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t，CQ=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$t，
∴当t=2时，NQ=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴AQ=AC-CQ=8$\sqrt{3}$-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$t
∴S=$\frac{1}{2}$AM•（$\frac{1}{2}$AQ）=2$\sqrt{3}$t-$\frac{\sqrt{3}}{3}$t²
当4＜t≤8时，由相似三角形得$\frac{16-2（t-4）}{8}$=$\frac{AQ}{8×sin60°}$，
∴AQ=-$\sqrt{3}$t+12$\sqrt{3}$，
∴S=$\frac{1}{2}$AM•（ $\frac{1}{2}$AQ）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²+6$\sqrt{3}$t；

（3）若△AMQ为等腰三角形，则AM=MQ或AQ=QM或QA=AM
当AM=MQ时有△AMQ∽△ABC，得$\frac{AQ}{AC}$=$\frac{AM}{AB}$，
代入AQ=8$\sqrt{3}$-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$t，得$\frac{8\sqrt{3}-\frac{4\sqrt{3}}{3}t}{8\sqrt{3}}$=$\frac{t}{8}$，
解得：t=$\frac{24}{7}$，符合0≤t≤4
代入AQ=4$\sqrt{3}$-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t，得$\frac{4\sqrt{3}-\frac{2\sqrt{3}}{3}t}{8\sqrt{3}}$=$\frac{t}{8}$，
解得t=$\frac{12}{5}$，不符合4＜t≤8，舍去
当AQ=QM时有△AMQ∽△ACB，得 $\frac{AQ}{AB}$=$\frac{AM}{AC}$，
代入AQ=8$\sqrt{3}$-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$t得：$\frac{4\sqrt{3}-\frac{2\sqrt{3}}{3}t}{8}$=$\frac{t}{8\sqrt{3}}$，
解得t=$\frac{24}{5}$，不符合0≤t≤4，舍去
代入AQ=4$\sqrt{3}$-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t，得$\frac{4\sqrt{3}-\frac{2\sqrt{3}}{3}t}{8}$=$\frac{t}{8\sqrt{3}}$，
解得t=4，不符合4＜t≤8，舍去
当QA=AM时，
代入AQ=8 $\sqrt{3}$-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$t，
解得t=$\frac{24（4-\sqrt{3}）}{13}$，不符合0≤t≤4，（舍去）
代入AQ=4$\sqrt{3}$-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t解得t=12（2-$\sqrt{3}$），不符合4＜t≤8，（舍去）
综上所述，当t=$\frac{24}{7}$时，△AMQ为等腰三角形．

点评 本题考查了四边形综合题，需要掌握菱形的性质、相似三角形的判定与性质以及三角函数，正确进行分请情况进行讨论是关键．