Question

如图，已知△ABC中，AB=AC，∠C=30°，AD⊥BC于D，以A为圆心，AD为半径画⊙O与AB、AC分别相交于点G、F，与CA的延长线交于点E，连接BE．
（1）求证：BE是⊙A的切线；
（2）连接DG、DF，判断四边形AGDF的形状，并说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵AB=AC，∠C=30°，
∴∠ABC=∠C=30°，
∵AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD=60°，
∴∠EAB=60°=∠BAD，
∵在△AEB和△ADB中

∴△AEB≌△ADB（SAS），
∴∠AEB=∠ADB=90°，
即AE⊥BE，
∵AE为半径，
∴BE是⊙O的切线；

（2）解：四边形AGDF的形状是菱形．理由如下：
∵∠BAD=∠CAD=60°，AG=AD=AF，
∴△AGD、△AFD是等边三角形，
∴AG=GD=AD=DF=AF，
即AG=GD=DF=AF，
∴四边形AGDF是菱形．
分析：（1）根据等腰三角形性质求出∠EAB=∠DAB，根据SAS证△EAB≌△DAB，推出∠AEB=∠ADB=90°，根据切线判定推出即可；
（2）根据等边三角形的判定得出等边三角形△AGD、△AFD，推出AG=GD=AD=DF=AF，根据菱形判定推出即可．
点评：本题考查了切线的判定，等腰三角形性质，等边三角形性质和判定，菱形判定的应用，主要考查学生的推理能力．