Question

已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，CD⊥AD，AD²+CD²=2AB²．
（1）求证：AB=BC；
（2）当BE⊥AD于E时，试证明：BE=AE+CD．

Answer 1

分析：（1）根据勾股定理AB²+BC²=AC²，得出AB²+BC²=2AB²，进而得出AB=BC；
（2）首先证明CDEF是矩形，再根据△BAE≌△CBF，得出AE=BF，进而证明结论．

解答：证明：（1）连接AC．
∵∠ABC=90°，
∴AB²+BC²=AC²．
∵CD⊥AD，
∴AD²+CD²=AC²．
∵AD²+CD²=2AB²，
∴AB²+BC²=2AB²，
∴BC²=AB²，
∵AB＞0，BC＞0，
∴AB=BC．

（2）过C作CF⊥BE于F．
∵BE⊥AD，CF⊥BE，CD⊥AD，
∴∠FED=∠CFE=∠D=90°，
∴四边形CDEF是矩形．
∴CD=EF．
∵∠ABE+∠BAE=90°，∠ABE+∠CBF=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
∴在△BAE与△CBF中
∴

∠AEB=∠BFC ∠BAE=∠CBF AB=BC

，
∴△BAE≌△CBF．（AAS）
∴AE=BF．
∴BE=BF+EF=AE+CD．

点评：此题主要考查了勾股定理的应用以及三角形的全等证明，根据已知得出四边形CDEF是矩形以及△BAE≌△CBF是解决问题的关键．