Question

19．如图，B，C，E三点在一条直线上，△ABC和△DCE均为等边三角形，BD与AC交于点M，AE与CD交于点N．
（1）连接MN，求证：MN∥BE．
（2）若把△DCE绕点C顺时针旋转一个角度，（1）中的结论还成立吗？（不必说明理由）

Answer 1

分析 （2）先根据等边三角形的性质证明△ACE≌△BCD，则∠DBC=∠EAC，再证明△BCM≌△ACN（ASA），所以CM=CN，得△CMN是等边三角形，根据内错角相等得MN∥BE；
（2）画出一个反例图形即可说明．

解答 证明：（1）如图1，∵△ABC和△DCE均为等边三角形，
∴AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，∠ACD=180°-60°-60°=60°，
即∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACE=∠BCD}\\{CE=CD}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴∠DBC=∠EAC，
在△BCM和△ACN中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠DBC=∠EAC}\\{BC=AC}\\{∠ACB=∠ACN=60°}\end{array}\right.$，
∴△BCM≌△ACN（ASA），
∴CM=CN，
∵∠MCN=60°，
∴△CMN是等边三角形，
∴∠CMN=60°，
∴∠CMN=∠ACB=60°，
∴MN∥BE；
（2）不成立．请看图2．当M与A重合时，显然NM与BE相交，不平行．

点评 本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，学会利用反例图形解决问题，属于中考常考题型．