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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线y=﹣2x+10与x轴,y轴相交于A,B两点,点C的坐标是(8,4),连接AC,BC.

(1)求过O,A,C三点的抛物线的解析式,并判断△ABC的形状;
(2)动点P从点O出发,沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动;同时,动点Q从点B出发,沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动.规定其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动.设运动时间为t秒,当t为何值时,PA=QA?
(3)在抛物线的对称轴上,是否存在点M,使以A,B,M为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】
(1)

解:∵直线y=﹣2x+10与x轴,y轴相交于A,B两点,

∴A(5,0),B(0,10),

∵抛物线过原点,

∴设抛物线解析式为y=ax2+bx,

∵抛物线过点B(0,10),C(8,4),

∴抛物线解析式为y= x2 x,

∵A(5,0),B(0,10),C(8,4),

∴AB2=52+102=125,BC2=82+(10﹣4)2=100,AC2=42+(8﹣5)2=25,

∴AC2+BC2=AB2

∴△ABC是直角三角形


(2)

解:如图1,

当P,Q运动t秒,即OP=2t,CQ=10﹣t时,

由(1)得,AC=OA,∠ACQ=∠AOP=90°,

在Rt△AOP和Rt△ACQ中,

∴Rt△AOP≌Rt△ACQ,

∴OP=CQ,

∴2t=10﹣t,

∴t=

∴当运动时间为 时,PA=QA


(3)

解:存在,

∵y= x2 x,

∴抛物线的对称轴为x=

∵A(5,0),B(0,10),

∴AB=5

设点M( ,m),

①若BM=BA时,

∴( 2+(m﹣10)2=125,

∴m1= ,m2=

∴M1 ),M2 ),

②若AM=AB时,

∴( 2+m2=125,

∴m3= ,m4=﹣

∴M3 ),M4 ,﹣ ),

③若MA=MB时,

∴( ﹣5)2+m2=( 2+(10﹣m)2

∴m=5,

∴M( ,5),此时点M恰好是线段AB的中点,构不成三角形,舍去,

∴点M的坐标为:M1 ),M2 ),M3 ),M4 ,﹣


【解析】(1)先确定出点A,B坐标,再用待定系数法求出抛物线解析式;用勾股定理逆定理判断出△ABC是直角三角形;(2)根据运动表示出OP=2t,CQ=10﹣t,判断出Rt△AOP≌Rt△ACQ,得到OP=CQ即可;(3)分三种情况用平面坐标系内,两点间的距离公式计算即可,

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(2)如图2,若AM=5cm,点P在DC上,点A′落在DC上.
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