Question

求出满足方程x²+y²=2（x+y）+xy的所有正整数解．

Answer 1

分析：首先将原方程可以变形为x²-（y+2）x+y²-2y=0，由于这个关于x的整系数一元二次方程有整数根，可得它的判别式是完全平方数，又由0≤16-3（y-2）²≤16，即可得16-3（y-2）²的值可能是0，1，4，9，16，然后代入求解即可求得答案．

解答：解：方法一：
原方程可以变形为x²-（y+2）x+y²-2y=0，（5分）
∵这个关于x的整系数一元二次方程有整数根，
∴它的判别式是完全平方数，
即△=（y+2）²-4（y²-2y）=-3y²+12y+4=16-3（y-2）²是完全平方数，（10分）
∵0≤16-3（y-2）²≤16，
∴16-3（y-2）²=0，1，4，9，16，
解得y=2，4，
于是可得

x=2 y=4

，

x=4 y=2

，

x=4 y=4

．（14分）

方法二：x²-（y+2）x+y²-2y=0，（5分）
∵△=（y+2）²-4（y²-2y）=-3y²+12y+4=16-3（y-2）²≥0
∴（y-2）²≤

16

3

＜9，
∴-3＜y-2＜3，
∴-1＜y＜5，
故y=1，2，3，4，（10分）
分别代入原方程可得

x=2 y=4

，

x=4 y=2

，

x=4 y=4

．（14分）

点评：此题考查了一元二次方程的有理根问题．解题的关键是将原方程变形，利用判别式△求解．