Question

如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，BF交⊙O于G，下面的结论：（1）EC=DF；（2）AE+BF=AB；（3）AE=GF；（4）FG•FB=EC•ED；其中正确的结论是

 

．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：综合题

分析：过点O作OM⊥CD于M，根据题目所给的条件，可得OA：OB=ME：MF，进而得出ME=MF，然后根据垂径定理得出DM=CM，推出EM-MD=MF-MC，即ED=CF，然后可得EC=ED+BC=CF+BC=DF，即（1）正确；根据AE∥OM∥BF，OA=OB，ME=MF，可得AE+BF=2OM≠AB，可得（2）错误；连接AD，CG，AG，可证得四边形AEFG是矩形，然后证明△AED≌△GFC，即可得出AE=GF，即（3）正确；连接BD，GC，证明△GCF∽△DBF，可得FG：FD=CF：FB，然后得出FG：EC=ED：FB，即FG•FB=EC•ED．

解答：解：过点O作OM⊥CD于M，
∵AE⊥EF，OM⊥EF，BF⊥EF，
∴AE∥OM∥BF，
∴OA：OB=ME：MF，
又∵OA=OB，
∴ME=MF，
∵OM过圆心O，OM⊥CD，
∴CM=MD，
∴EM-MD=MF-MC，
即ED=CF，
∴EC=ED+BC=CF+BC=DF，
故（1）正确；
∵AE∥OM∥BF，OA=OB，ME=MF，
∴AE+BF=2OM≠AB，
故（2）错误；
连接AD，CG，AG，
∵AB是直径，
∴∠AGB=90°，
∴四边形AEFG是矩形，
∴AE=GF，
在△AED和△GFC中，

AE=GF ∠AED=∠GFC DE=CF

，
∴△AED≌△GFC（SAS），
∴AE=GF，
故（3）正确；
连接BD，GC，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADE+∠BDF=90°，
又∠ADE+∠EAD=90°=∠BDF+∠DBF，
∴∠ADE=∠DBF，
∵△AED≌△GFC，
∴ED=CF，
∴∠GCF=∠ADE=∠DBF，
∵EC=FD，
∴△GCF∽△DBF，
∴FG：FD=CF：FB，
∴FG：EC=ED：FB，即FG•FB=EC•ED，
故（4）正确．
综上所述，正确的有（1）（3）（4）．

点评：本题考查了圆的综合，解答本题的关键是作出辅助线，涉及垂径定理，相似三角形与全等三角形的判定与性质等知识，此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意比例的性质．