Question

【题目】如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC ， ∠ABC= ，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是（　　）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

Answer 1

【答案】C
【解析】解答：∵AB⊥BC ， ∴∠B= ．
∵AD∥BC ，
∴∠A=180°-∠B= ，
∴∠PAD=∠PBC= ．AB=8，AD=3，BC=4，
设AP的长为x ， 则BP长为8-x ．
若AB边上存在P点，使△PAD与△PBC相似，那么分两种情况：
①若△APD∽△BPC ， 则AP：BP=AD：BC ， 即x：（8-x）=3：4，解得x= ；
②若△APD∽△BCP ， 则AP：BC=AD：BP ， 即x：4=3：（8-x），解得x=2或x=6．
∴满足条件的点P的个数是3个，
故选：C．

分析：因为∠PAD=∠PBC= ，所以要使△PAD与△PBC相似，分两种情况讨论：①△APD∽△BPC ， ②△APD∽△BCP ， 这两种情况都可以根据相似三角形对应边的比相等求出AP的长，从而得到P点的个数．进行分类讨论是解答此题的关键．
【考点精析】解答此题的关键在于理解相似三角形的判定的相关知识，掌握相似三角形的判定方法:两角对应相等，两三角形相似（ASA）；直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似； 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）；三边对应成比例，两三角形相似（SSS）．