Question

如图，正比例函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知△OAM的面积为1．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如果B（a，b）为反比例函数在第一象限图象上的点，且b=2a，试探究在x轴上是否存在点P，使△PAB周长最小？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵反比例函数在第一象限，
∴k＞0，
∵△OAM的面积为1，
∴k=1，解得k=2，
故反比例函数的解析式为：y=；

（2）∵点A是正比例函数y=x与反比例函数y=的交点，且x＞0，y＞0，
∴，
解得，
∴A（2，1），
∵B（a，b）为反比例函数在第一象限图象上的点，且b=2a，
∴b=，
∵b=2a，
∴a=1，b=2，
∴B（1，2），
∵AB的距离为定值，
∴若使△PAB周长最小则PA+PB的值最小，
如图所示：作出A点关于x轴的对称点C，并连接BC，交x轴于点P，P为所求点，设A点关于x轴的对称点为C，则C点的坐标为（2，-1），
令直线BC的解析式为y=mx+n，将B、C两点的坐标代入得，
，
解得，
故直线BC的解析式为：y=-3m+5，
当y=0时，x=，
则点P（，0）．
分析：（1）先根据反比例函数图象所在的象限判断出k的符号，再由△OAM的面积为1，即可得出k的值，进而求出其解析式；
（2）先根据反比例函数与一次函数的解析式求出A点坐标，再根据B（a，b）为反比例函数在第一象限图象上的点，且b=2a得出B点坐标，由于AB的距离为定值，所以若使△PAB周长最小则PA+PB的值最小，作出A点关于x轴的对称点C，并连接BC，交x轴于点P，P为所求点．A点关于x轴的对称点C（2，-1），而B为（1，2），故BC的解析式为y=-3x+5，即可求得P点的坐标．
点评：本题考查的是反比例函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式、轴对称-最短路线问题，在解答（2）时把求三角形周长的最小值转化为求PA+PB的最小值是解答此题的关键．