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【题目】如图,在矩形ABCD中,E,F分别是边AB,CD上的点,AE=CF,连接EF,BF,EF与对角线AC交于点O,且BE=BF,∠BEF=2∠BAC,FC=2,则AB的长为(  )

A. 8 B. 8 C. 4 D. 6

【答案】D

【解析】分析: 连接OB,根据等腰三角形三线合一的性质可得BO⊥EF,再根据矩形的性质可得OA=OB,根据等边对等角的性质可得∠BAC=∠ABO,再根据三角形的内角和定理列式求出∠ABO=30°,即∠BAC=30°,根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC,再利用勾股定理列式计算即可求出AB.

详解: 如图,连接OB,

∵BE=BF,OE=OF,

∴BO⊥EF,

∴在Rt△BEO中,∠BEF+∠ABO=90°,

由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可知:OA=OB=OC,

∴∠BAC=∠ABO,

又∵∠BEF=2∠BAC,

2∠BAC+∠BAC=90°,

解得∠BAC=30°,

∴∠FCA=30°,

∴∠FBC=30°,

∵FC=2,

∴BC=2

∴AC=2BC=4

∴AB==6,

故选:D.

点睛: 本题考查了矩形的性质,全等三角形的判定与性质,等腰三角形三线合一的性质,直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半,综合题,但难度不大,(2)作辅助线并求出∠BAC=30°是解题的关键.

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