已知点A的坐标为(3.4).点B为直线x=-1上的动点.设点B的坐标为(Ⅰ)如图①.若点C的坐标为(x.0)且-1＜x＜3.BC⊥AC于点C.求y与x之间的函数关系式,的条件下.y是否有最大值?若有.请求出最大值,若没有.请说明理由,(Ⅲ)如图②.当点B的坐标为时.在x轴上另取两点E.F.且EF=1.线段EF在x轴上平移.线段EF平移至何处时.四边形ABEF的周长最小?求出此时点E� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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1．已知点A的坐标为（3，4），点B为直线x=-1上的动点，设点B的坐标为（-1，y）
（Ⅰ）如图①，若点C的坐标为（x，0）且-1＜x＜3，BC⊥AC于点C，求y与x之间的函数关系式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，y是否有最大值？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由；
（Ⅲ）如图②，当点B的坐标为（-1，1）时，在x轴上另取两点E，F，且EF=1，线段EF在x轴上平移，线段EF平移至何处时，四边形ABEF的周长最小？求出此时点E的坐标．

分析（Ⅰ）根据相似三角形的判定定理证明∴△BCD∽△CAE，根据相似三角形的性质得到比例式，求出y与x之间的函数关系式；
（Ⅱ）根据二次函数的性质求出最大值；
（Ⅲ）过点A作x轴的平行线，在这条平行线上取线段AA′=1，作点B关于x轴的对称点B′，连接A′B′交x轴于得E，在x轴上取EF=1，此时四边形ABEF的周长最小，求出直线A′B′的解析式，以及它与x轴的交点，得到点E的坐标．

解答解：（Ⅰ）如图1，作AE⊥x轴于E，又∵BC⊥AC，
∴∠BCD+∠ACE=90°，∠A+∠ACE=90°，
∴∠BCD=∠A，又∠CDB=∠CEA=90°，
∴△BCD∽△CAE，
∴$\frac{BD}{CE}$=$\frac{CD}{AE}$，
∵A的坐标为（3，4），B的坐标为（-1，y），C的坐标为（x，0），
∴$\frac{y}{3-x}$=$\frac{x+1}{4}$，
∴y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{4}$（-1＜x＜3）；
（Ⅱ）∵y=-$\frac{1}{4}$（x-1）²+1，∴当x=1时，y有最大值1；
（Ⅲ）如图2，过点A作x轴的平行线，在这条平行线上取线段AA′=1，
作点B关于x轴的对称点B′，连接A′B′交x轴于得E，在x轴上取EF=1，
此时四边形ABEF的周长最小，
∵点A的坐标为（3，4），点A′的坐标为（2，4），
∵点B的坐标为（-1，1），∴点B′的坐标为（-1，-1），
设直线A′B′的解析式为y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=4}\\{-k+b=-1}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{5}{3}}\\{b=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，
直线y=$\frac{5}{3}$x+$\frac{2}{3}$与x轴的交点E的坐标为（-$\frac{2}{5}$，0），
∴线段EF平移到如图2所示的位置时，四边形ABEF的周长最小，
此时点E的坐标为（-$\frac{2}{5}$，0）．

点评本题考查的是一次函数的知识、二次函数的知识、相似三角形的判定和性质，掌握二次函数最大值的求法、待定系数法求一次函数解析式和相似三角形的判定和性质是解题的关键．

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