Question

8．如图，已知AD∥EF∥BC，CE平分∠BCF，∠DAC=4∠BCF，∠ACF=30°．
（1）求∠FEC的度数；
（2）若∠BAC=3∠B，求证：AB⊥AC；
（3）当∠DAB=60°时，CF⊥AB．

Answer 1

分析 （1）先根据CE平分∠BCF，设∠BCE=∠ECF=$\frac{1}{2}$∠BCF=x．由∠DAC=4∠BCF可得出∠DAC=8x．由平行线的性质即可得出x的值，进而得出结论；
（2）根据AD∥BC可知∠DAB=∠B，再由∠BAC=3∠B，得出∠DAC=4∠B=120°，故∠B=30°，∠BAC=90°，由此可得出结论；
（3）根据（1）可得出∠BCF的度数，由直角三角形的性质即可得出结论．

解答 （1）解：∵CE平分∠BCF，
∴设∠BCE=∠ECF=$\frac{1}{2}$∠BCF=x．
∵∠DAC=4∠BCF，
∴∠DAC=8x．          
∵AD∥EF∥BC，
∴∠DAC+∠ACB=180°，
∴8x+2x+30=180，
∴x=15°
∵EF∥BC，
∴∠BCE=∠FEC=15°；
   
（2）证明：由（1）可得，∠DAC=180°-30°×2=120°，
∵AD∥BC，
∴∠DAB=∠B，
又∵∠BAC=3∠B，
∴∠DAC=4∠B=120°，
∴∠B=30°，
∴∠BAC=90°，
∴AB⊥AC；

（3）解：∵由（1）知∠BCE=15°，
∴∠BCF=30°．
∵当CF⊥AB时，∠B=60°．
∵AD∥BC，
∴∠DAB=60°．
故答案为：60．

点评 本题主要考查的是平行线的性质、角平分线的定义以及垂线的定义，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．