Question

如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接DE．
（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系？并说明理由；
（2）若⊙O的半径为

3

，DE=3，求AE的长．

Answer 1

（1）直线DE与⊙相切．理由如下：
连接OE，BE，
∵AB是直径．
∴BE⊥AC．
∵D是BC的中点，
∴DE=DB．
∴∠DBE=∠DEB．
又OE=OB，
∴∠OBE=∠OEB．
∴∠DBE+∠OBE=∠DEB+∠OEB．
即∠ABD=∠OED．
但∠ABC=90°，
∴∠OED=90°，
又∵EO为⊙O半径，
∴DE是⊙O的切线．

（2）∵∠ABC=90°，AB=2

3

，BC=2DE=6，
∴AC=4

3

．
∴BE=3．
∴AE=

3

．