如图.?ABCD中.AB⊥AC.AB=1.BC=5．对角线AC.BD相交于点O.将直线AC绕点O顺时针旋转α°.分别交直线BC.AD于点E.F．(1)当α= 时.四边形ABEF是平行四边形,(2)在旋转的过程中.四边形BEDF可能是菱形吗?如果能.求出此时α的值,如果不能.说明理由,(3)在旋转过程中.是否存在以A.B.C.D.E.F中的4个点为顶点的四边形是矩形?如� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，?ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC=

．对角线AC、BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转α°，分别交直线BC、AD于点E、F．
（1）当α=

时，四边形ABEF是平行四边形；
（2）在旋转的过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果能，求出此时α的值；如果不能，说明理由；
（3）在旋转过程中，是否存在以A、B、C、D、E、F中的4个点为顶点的四边形是矩形？如果存在，直接写出矩形的名称及对角线的长度；如果不存在，说明理由．

考点：四边形综合题

专题：综合题

分析：（1）由AB⊥AC得∠BAC=90°，在Rt△ABC中，根据勾股定理计算出AC=2，再根据平行四边形的性质得OA=OC=

AC=1，AD∥BC，于是可判断△AOB为等腰直角三角形，则∠AOB=45°，根据平行四边形的判定当EF∥AB时，四边形ABEF是平行四边形，则EF⊥AC，根据旋转的性质得α=90°；
（2）由于四边形ABCD的对称中心为点O，则OB=OD，OE=OF，可判断四边形BEDF为平行四边形，根据菱形的判定，当EF⊥BD时，四边形BEDF为菱形而∠AOB=45°，根据互余得到∠COE=45°，所以此时α为45°；
（3）根据平行四边形的性质有OA=OC，OB=OD，OE=OF，再根据矩形的判定，当EF=AC时，四边形AECF为矩形，易得此时矩形AECF的对角线长为2；当EF=BD时，四边形BEDF为矩形，由△AOB为等腰直角三角形得OB=

AB=

，则BD=2OB=2

，所以此时矩形BEDF的对角线长为2

．

解答：解：（1）∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
在Rt△ABC中，AB=1，BC=

，
∴AC=

BC2-AB2

=2，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA=OC=

AC=1，AD∥BC，
∴△AOB为等腰直角三角形，
∴∠AOB=45°，
∵AF∥BE，
∴当EF∥AB时，四边形ABEF是平行四边形，
∴EF⊥AC，
∴α=90°；
故答案为90°；

（2）在旋转的过程中，四边形BEDF可能是菱形．
如图1，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴四边形ABCD的对称中心为点O，
∴OB=OD，OE=OF，
∴四边形BEDF为平行四边形，
∴当EF⊥BD时，四边形BEDF为菱形，

∵∠AOB=45°，
∴∠COE=45°，
即此时α为45°；

（3）在旋转过程中，存在以A、B、C、D、E、F中的4个点为顶点的四边形是矩形，
∵OA=OC，OB=OD，OE=OF，
∴当EF=AC时，四边形AECF为矩形，如图2，矩形AECF的对角线长为2；

当EF=BD时，四边形BEDF为矩形，如图3，
∵△AOB为等腰直角三角形，
∴OB=

AB=

，
∴BD=2OB=2

，
∴矩形BEDF的对角线长为2

．

点评：本题考查了四边形的综合题：熟练掌握平行四边形和特殊平行四边形的判定与性质；理解旋转的性质；会运用等腰直角三角形的性质和勾股定理进行几何计算．

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