Question

把矩形纸片OABC放人直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴和y轴的正半轴上．
（1）将纸片OAB C折叠，使点A与C重合，用直尺和圆规在原图上作出折叠后的图形，并在图中标明折叠后点B的对应点B’（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在矩形OABC中，连接AC，且AC=2

5

，tan∠OAC=

1

2

，求A、C两点的坐标；并求（1）中折痕的长．

Answer 1

分析：（1）首先确定折痕的位置，即AC的垂直平分线．然后根据对称点的作法，作出点B关于对称轴的对称点，再顺次连接即可；
（2）根据tan∠OAC=

1

2

，可设OC=m，则OA=2m，再根据勾股定理列方程求解．进一步写出点A和点C的坐标；根据相似三角形的性质和轴对称的性质即可求解．

解答：解：（1）①作出AC中垂线，
②作出点B的对称点B′，
③连接CB′、FB′、CE，
五边形OEFB′C为折叠后的图形．

（2）∵tan∠OAC=

OC

OA

=

1

2

，
∴OA=2OC．
设OC=m，则OA=2m，
∵OC²+OA²=AC²∴m²+4m²=20，
解得m=2或m=-2（负值舍去）．
∴m=2，OA=4．
∴A（4，0），C（0，2）．
∵

PE

PA

=tan∠PAE=

1

2

，
∴PE=

1

2

PA=

1

2

•

2 5

2

=

5

2

．
∴EF=2PE=

5

．
∴折痕EF的长是

5

．

点评：综合运用了轴对称的性质、相似三角形的判定和性质以及轴对称的性质．