Question

5．如图，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的图象经过点A（2，m），过点A作AB⊥x轴于点B，且△AOB（O为坐标原点）的面积为$\frac{1}{2}$．
（1）求k和m的值；
（2）点C（x，y）在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，求当1≤x≤4时函数值y的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据A点坐标可得OB=2，AB=m，再由条件△AOB的面积为$\frac{1}{2}$可得m的值，进而可得A点坐标，然后根据反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k可得k的值；
（2）首先确定反比例函数解析式，再计算出x=1时，y=1，x=4时，y=$\frac{1}{4}$，然后根据反比例函数的性质可得答案．

解答 解：（1）∵点A（2，m），
∴OB=2，AB=m，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$BO•AB=$\frac{1}{2}×$2×m=$\frac{1}{2}$，
∴m=$\frac{1}{2}$，
∴A（2，$\frac{1}{2}$），
∵A在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的图象上，
∴k=2×$\frac{1}{2}$=1；

（2）由（1）知，函数表达式为y=$\frac{1}{x}$，
∵当x=1时，y=1，
当x=4时，y=$\frac{1}{4}$，
又∵反比例函数y=$\frac{1}{x}$在x＞0时，y随x的增大而减小，
∴当1≤x≤4时，$\frac{1}{4}$≤y≤1．

点评 此题主要考查了反比例函数的性质以及反比例函数图象上点的坐标特点，关键是掌握反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k．