Question

【题目】如图，△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，点P从点A开始沿AC向点C以2厘米/秒的速度运动；与此同时，点Q从点C开始沿CB边向点B以1厘米/秒的速度运动；如果P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．

（1）经过几秒，△CPQ的面积等于3cm2？

（2）在整个运动过程中，是否存在某一时刻t，使PQ恰好平分△ABC的面积？若存在，求出运动时间t；若不存在，请说明理由．

（3）是否存在某一时刻，PQ长为，如果存在，求出运动时间t。

Answer 1

【答案】（1）1或3秒；（2）不存在满足条件的t；（3）

【解析】

（1）设出运动所求的时间，可将BP和BQ的长表示出来，代入三角形面积公式，列出等式，可将时间求出；
（2）将△PBQ的面积表示出来，根据△=b2-4ac来判断；

（3）设经过y秒后存在，则PC＝8－2y,CQ=y,根据勾股定理可得PC2+CQ2=()2,求方程即可.

（1）解：设经过x秒，△CPQ的面积等于3cm2．则

x（8﹣2x）=3，

化简得x2﹣4x+3=0，

解得x1=1，x2=3；

（2）设存在某一时刻t，使PQ恰好平分△ABC的面积．则

t（8﹣2t）=××6×8，

化简得t2﹣4t+12=0，

b2﹣4ac=16﹣48=﹣32＜0，

故方程无实数根，即不存在满足条件的t．

（3）设经过y秒后存在PQ长为，则PC＝8－2y,CQ=y,

∵∠C=90°，

∴PC2+CQ2=()2,

解得：y1=,y2=5(不符合题意，舍去),

所以经过秒后，PQ的长为.