Question

13．如图，Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上，双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）经过斜边OA的中点C，与另一直角边交于点D．若S_△ACD=6，则k的值为8．

Answer 1

分析 作CE⊥OB于E，如图，根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到S_△OCE=S_△BOD=$\frac{1}{2}$k，由于S_△ACD=6，且OC=$\frac{1}{2}$OA，则S_△OAB=12+$\frac{1}{2}$k，然后证明△OCE∽△OAQB，利用相似三角形的性质得$\frac{{S}_{△OCE}}{{S}_{△OAB}}$=（$\frac{OC}{OA}$）²，即$\frac{\frac{1}{2}k}{12+\frac{1}{2}k}$=$\frac{1}{4}$，解方程可得结果．

解答 解：作CE⊥OB于E，如图，
∵点C、D在双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上，
∴S_△OCE=S_△BOD=$\frac{1}{2}$k，
∵S_△ACD=6，OC=$\frac{1}{2}$OA，
∴S_△OAB=12+$\frac{1}{2}$k，
∵CE∥AB，
∴△OCE∽△OAB，
∴$\frac{{S}_{△OCE}}{{S}_{△OAB}}$=（$\frac{OC}{OA}$）²，即$\frac{\frac{1}{2}k}{12+\frac{1}{2}k}$=$\frac{1}{4}$，
∴k=8．
故答案为8．

点评 本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y=$\frac{k}{x}$图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．