Question

如图：P是反比例函数y=（k＞0）图象在第一象限上的一个动点，过P作x轴的垂线，垂足为M，已知△POM的面积为2．
（1）求k的值；
（2）若直线y=x与反比例函数y=的图象在第一象限内交于点A，求过点A和点B（0，-2）的直线表达式；
（3）过A作AC⊥y轴于点C，若△ABC与△POM相似，求点P的坐标．

Answer 1

解：（1）∵△POM的面积为2，
设P（x，y），
∴xy=2，即xy=4，
∴k=4；

（2）解方程组，得，或，
∵点A在第一象限，
∴A（2，2），
设直线AB的表达式为y=mx+n，
将A（2，2）B（0，-2）代入得：解之得，
∴直线AB的表达式为y=2x-2；

（3）①若△ABC∽△POM，则有PM：OM=AC：AB=2：4=1：2，
又PM•OM=2，即×2PM•PM=2，得PM=∴P（2，）；
②若△ABC∽△OPM，同上述方法，易得OM=，∴P（，2），
∴符合条件的点P有（2，）或（，2）．
分析：（1）设出点P的坐标，用它表示出三角形的面积，反比例函数的比例系数=这点横纵坐标的积；
（2）让正比例函数和反比例函数组成方程组求出在第一象限的交点A，把A，B两点代入一次函数解析式即可；
（3）直角相等是固定的，当另两对角的对应是不固定的，所以应分两种情况进行讨论．
点评：反比例函数的比例系数等于它上面的点的横纵坐标的积；求一次函数的解析式需知道它上面的两个点的坐标；当没有给出相似三角形的对应顶点时，需注意分情况探讨．