Question

如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，F是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC边上运动，且始终保持AD=CE，连接DE，DF，EF．探究：
（1）在整个运动过程中，△DEF的形状是

等腰直角三角形

；
（2）指出线段AD、BE与AC间的数量关系，并说明理由．
（3）若AB=10cm，求四边形DCEF的面积．

Answer 1

分析：（1）根据在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，利用F是AB中点，∠A=∠FCE=∠ACF=45°，即可证明：△ADF≌△CEF再利用△ADF≌△CEF，∠AFD+∠DFC=∠CFE+∠DFC，和∠AFC=90°即可证明△DFE是等腰直角三角形；
（2）AC=BE+AD，由（1）可知：AD=CE，所以CD=BE，问题得证；
（3）根据三角形的面积公式可求出S_△ABC的值，又因为四边形DCEF的面积=

1

2

S_△ABC

解答：解：（1）等腰直角三角形，
理由如下：
在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=∠B=45°，
又∵F是AB中点，
∴∠ACF=∠FCB=45°，
即，∠A=∠FCE=∠ACF=45°，且AF=CF，
在△ADF与△CEF中，

AD=CE ∠A=∠FCE AF=CF

，
∴△ADF≌△CEF（SAS），
∴DF=FE，
∴△DFE是等腰三角形，
又∵∠AFD=∠CFE，
∴∠AFD+∠DFC=∠CFE+∠DFC，
∴∠AFC=∠DFE，
∵∠AFC=90°，
∴∠DFE=90°，
∴△DFE是等腰直角三角形；
故答案为：等腰直角三角形；

（2）AC=BE+AD，
由（1）可知△ADF≌△CEF，
∴AD=CE，∵CA=CB，
∴CD=BE，
∴AC=AD+CD=BE+AD；

（3）∵AB=10cm，
∴CF=

1

2

AB=5cm，
∴S_△ABC=

1

2

×10×5=25，
∴四边形DCEF的面积=

1

2

S_△ABC=

1

2

×25=

25

2

．

点评：此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的理解和掌握，稍微有点难度，属于中档题．