Question

如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线EF交CB的延长线于点F，交AD于点E，交AC于点M．
（1）△ACF与△BAF相似吗？请说明理由；
（2）如果AF=6，BD=2，AC=4，求DC和AM的长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）首先证明∠DAF=∠ADF，结合平分线的性质以及角角之间的数量关系得到∠BAF=∠C，再根据∠AFB=∠AFC即可判定△ACF与△BAF相似；
（2）连接DM，首先求出BF的长度，利用△ACF与△BAF相似，得到

AF

BF

=

FC

AF

，结合题干数据求出CF的长度，进而求出CD的长度，由∠DAM=∠ADM，∠BAD=∠CAD，得到∠BAD=∠ADM，进而得到DM∥BA，即

AM

MC

=

BD

DC

，结合线段之间的数量关系即求出AM的长．

解答：解：（1）△ACF∽△BAF．
∵EF垂直平分AD，
∴AF=DF，
∴∠DAF=∠ADF．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵∠DAF=∠BAF+∠BAD，∠ADF=∠C+∠CAD，
∴∠BAF=∠C．
又∵∠AFB=∠AFC，
∴△ACF∽△BAF．

（2）连接DM．
∵EF垂直平分AD，
∴DM=AM，DF=AF=6．
∵BD=2．
∴BF=6-2=4．
由（1）知，△ACF∽△BAF，
∴

AF

BF

=

FC

AF

．
∴AF²=BF•CF，即36=4CF．解得CF=9．
∴CD=CF-FD=9-6=3．
∵∠DAM=∠ADM，∠BAD=∠CAD，
∴∠BAD=∠ADM．
∴DM∥BA．
∴

AM

MC

=

BD

DC

．
∴

AM

AC

=

BD

BC

．
∵BC=DC+BD=3+2=5．
即

AM

4

=

2

5

．
∴AM=

8

5

．

点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质的知识，解答本题的（1）问需要熟练掌握两三角形相似的判断定理，第（2）问解答连接DM利用三角形相似的性质求线段CF的很关键，此题有一定的难度．