Question

18．（1）填空：$（\sqrt{2}+1）（\sqrt{2}-1）$=1；$（\sqrt{3}+\sqrt{2}）（\sqrt{3}-\sqrt{2}）$=1；$（2+\sqrt{3}）（2-\sqrt{3}）$=1；$（\sqrt{5}+2）（\sqrt{5}-2）$=1．
（2）观察以上计算，发现了什么规律？请用含n（n为正整数）的等式表示出来．

Answer 1

分析 （1）利用平方差公式计算各式；
（2）观察（1）中各式的特征，两个相邻正整数的算术平方根的和与平方根的差的积为1．

解答 解：（1）$（\sqrt{2}+1）（\sqrt{2}-1）$=1；$（\sqrt{3}+\sqrt{2}）（\sqrt{3}-\sqrt{2}）$=1；$（2+\sqrt{3}）（2-\sqrt{3}）$=1；$（\sqrt{5}+2）（\sqrt{5}-2）$=1；
故答案为1，1，1，1；
（2）规律为（$\sqrt{n+1}$+$\sqrt{n}$）（$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$）=1（n为正整数）．

点评 本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．