Question

20．如图，在矩形ABCD中，AB=16，BC=12，顺次连结各边中点，得菱形A₁B₁C₁D₁；再顺次连结菱形A₁B₁C₁D₁的各边中点，得矩形A₂B₂C₂D₂；再顺次连结矩形A₂B₂C₂D₂的各边中点，得菱形A₃B₃C₃D₃；…这样继续下去．则图中的四边形A₈B₈C₈D₈的周长等于4，图中的四边形A_nB_nC_nD_n的面积等于192×（$\frac{1}{2}$）ⁿ．

Answer 1

分析 ①根据题意求出菱形ABCD的周长，根据中点四边形的性质得到A₈B₈C₈D₈是菱形，根据题意总结规律得到答案；
②根据中点四边形的面积等于原四边形面积的一半即可解决问题；

解答 解：根据中点四边形的性质可知，A₁B₁C₁D₁、A₃B₃C₃D₃…是矩形，
A₂B₂C₂D₂、A₄B₄C₄D₄…是菱形，
∵菱形ABCD的周长是（16+12）×2=56，
∴菱形A₂B₂C₂D₂的周长是56×$\frac{1}{2}$，
菱形A₄B₄C₄D₄的周长是56×$\frac{1}{{2}^{2}}$，
…
则四边形A₈B₈C₈D₈的周长是56×$\frac{1}{{2}^{4}}$=4．
易知四边形A₁B₁C₁D₁的面积=$\frac{1}{2}$•S_矩形ABCD，
四边形A₂B₂C₂D₂的面积=$\frac{1}{2}$×四边形A₁B₁C₁D₁的面积=（$\frac{1}{2}$）²•S_矩形ABCD，
四边形A₃B₃C₃D₃的面积=（$\frac{1}{2}$）³•S_矩形ABCD，
…，
∴四边形A_nB_nC_nD_n的面积=（$\frac{1}{2}$）ⁿ••S_矩形ABCD=192•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
故答案为4，192×（$\frac{1}{2}$）ⁿ．

点评 本题考查矩形的性质、菱形的判定和性质，中点四边形等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究方法，利用规律解决问题，记住中点四边形的面积等于原四边形面积的一半，属于中考常考题型．