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    4．在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，作∠ACM，使得∠ACM=$\frac{1}{2}$∠ABC，点D是直线BC上的动点，过点D作直线CM的垂线，垂足为E，交直线AC于F．
    （1）当点D与点B重合时，如图1所示，DF与EC的数量关系是DF=2EC；
    （2）当点D在直线BC上运动时，DF和EC是否始终保持上述数量关系呢？请你画出点D运动到CB延长线上某一点时的图形，并证明此时DF与EC的数量关系．

    分析 （1）延长BA，CM交点N，先证明BC=BN，得出CN=2CE，再证明△BAF≌△CAN，得出对应边相等BF=CN，即可得出结论；
    （2）作∠PDE=22.5，交CE的延长线于P点，交CA的延长线于N，先证明PD=CD，得出PC=2CE，再证明△DNF≌△PNC，得出对应边相等DF=PC，即可得出结论．

    解答 解：延长BA，CM交点N，如图（1）所示：
    ∵∠A=90°，AB=AC，
    ∴∠ABC=∠ACB=45°，
    ∵∠ACM=$\frac{1}{2}$∠ABC=22.5°，
    ∴∠BCM=67.5°，
    ∴∠BNC=67.5=∠BCM，
    ∴BC=BN，
    ∵BE⊥CE，
    ∴∠ABE=22.5°，CN=2CE，
    ∴∠ABE=∠ACM=22.5°，
    在△BAF和△CAN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAC=∠NAC=90°}&{\;}\\{AB=AC}&{\;}\\{∠ABF=∠ACM}&{\;}\end{array}\right.$，
    ∴△BAF≌△CAN（ASA），
    ∴BF=CN，
    ∴BF=2CE；
    （2）保持上述关系；证明如下：
    作∠PDE=22.5，交CE的延长线于P点，交CA的延长线于N，
    如图（2）所示：
    ∵DE⊥PC，∠ECD=67.5，
    ∴∠EDC=22.5°，
    ∴∠PDE=∠EDC，∠NDC=45°，
    ∴∠DPC=67.5°，
    ∴PD=CD，
    ∴PE=EC，
    ∴PC=2CE，
    ∵∠NDC=45°，∠NCD=45°，
    ∴∠NCD=∠NDC，∠DNC=90°，
    ∴ND=NC且∠DNC=∠PNC，
    在△DNF和△PNC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DNC=∠PNC}&{\;}\\{ND=NC}&{\;}\\{∠PDE=∠PCN}&{\;}\end{array}\right.$，
    ∴△DNF≌△PNC（ASA），
    ∴DF=PC，
    ∴DF=2CE．

    点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及等腰三角形的判定与性质；通过作辅助线证明等腰三角形和全等三角形是解决问题的关键．

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    19．如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，D是弧AC上一点，连接BD，E是BD上一点，且BE=CD．
    （1）求证：△AED为等腰三角形；
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