Question

如图，抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于A（1，0），B（-3，0）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由．

Answer 1

解：（1）将A（1，0），B（-3，0）代y=-x²+bx+c中得

∴
∴抛物线解析式为：y=-x²-2x+3；

（2）存在
理由如下：由题知A、B两点关于抛物线的对称轴x=-1对称
∴直线BC与x=-1的交点即为Q点，此时△AQC周长最小
∵y=-x²-2x+3
∴C的坐标为：（0，3）
直线BC解析式为：y=x+3
Q点坐标即为
解得
∴Q（-1，2）；

（3）存在．
理由如下：设P点（x，-x²-2x+3）（-3＜x＜0）
∵S_△BPC=S_{四边形BPCO}-S_△BOC=S_{四边形BPCO}-
若S_{四边形BPCO}有最大值，则S_△BPC就最大，
∴S_{四边形BPCO}=S_△BPE+S_{直角梯形PEOC}
=BE•PE+OE（PE+OC）
=（x+3）（-x²-2x+3）+（-x）（-x²-2x+3+3）
=
当x=-时，S_{四边形BPCO}最大值=
∴S_△BPC最大=
当x=-时，-x²-2x+3=
∴点P坐标为（-，）．
分析：（1）根据题意可知，将点A、B代入函数解析式，列得方程组即可求得b、c的值，求得函数解析式；
（2）根据题意可知，边AC的长是定值，要想△QAC的周长最小，即是AQ+CQ最小，所以此题的关键是确定点Q的位置，找到点A的对称点B，求得直线BC的解析式，求得与对称轴的交点即是所求；
（3）存在，设得点P的坐标，将△BCP的面积表示成二次函数，根据二次函数最值的方法即可求得点P的坐标．
点评：此题考查了二次函数的综合应用，要注意距离最短问题的求解关键是点的确定，还要注意面积的求解可以借助于图形的分割与拼凑，特别是要注意数形结合思想的应用．