Question

4．在正方形ABCD中，AB=4$\sqrt{5}$，E为BC中点，连接AE，点F为AE上一点，FE=2，FG⊥AE交DC于G，将GF绕着G点逆时针旋转使得F点正好在AD上的点H处，过点H作HN⊥HG交AB于N点，交AE于M点，则S_△MNF=$\frac{96\sqrt{5}-192}{5}$．

Answer 1

分析 作过B作BP⊥AE于P，根据勾股定理计算$BE=\frac{1}{2}$BC=2$\sqrt{5}$，AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=10，得B，F，G共线，作辅助线，构建直角三角形，利用同角的三角函数得：FQ=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，BQ=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，分别计算FS、GS、DG、DH、AH、AN的长，利用面积差S_△MNF=S_△ANF-S_△AMN求值．

解答 解：过B作BP⊥AE于P，
∵正方形ABCD中，AB=4$\sqrt{5}$，E为BC中点，
∴$BE=\frac{1}{2}$BC=2$\sqrt{5}$，
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=10，
∴BP=$\frac{AB•BE}{AE}$=$\frac{4\sqrt{5}×2\sqrt{5}}{10}$=4，
∴PE=$\sqrt{B{E}^{2}-B{P}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{5}）^{2}-{4}^{2}}$=2，
∴EF=EP，
∴F与P重合，
∴B，F，G共线，
过F作OS⊥DC，交AB于O，DC于S，则OS⊥AB，
过F作FQ⊥BC于Q，
sin∠FBE=$\frac{EF}{BE}=\frac{FQ}{BF}$，
∴$\frac{2}{2\sqrt{5}}=\frac{FQ}{4}$，
∴FQ=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴BQ=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
易得矩形OFQB，
∴FO=BQ=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
∴FS=4$\sqrt{5}$-$\frac{8\sqrt{5}}{5}$=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$，AO=AB-OB=4$\sqrt{5}$-$\frac{4\sqrt{5}}{5}$=$\frac{16\sqrt{5}}{5}$，
∵GF⊥AE，
∴∠AFG=90°，
∴∠GFS+∠AFH=∠AFH+∠FAH，
∴∠GFS=∠FAB，
∴tan∠FAB=tan∠GFS=$\frac{BE}{AB}=\frac{GS}{FS}$，
∴$\frac{2\sqrt{5}}{4\sqrt{5}}$=$\frac{GS}{\frac{12\sqrt{5}}{5}}$，
∴GS=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
∴DG=DS-GS=AO-GS=$\frac{16\sqrt{5}}{5}$-$\frac{6\sqrt{5}}{5}$=2$\sqrt{5}$，
∵GH=GF，
∴DH²+DG²=GS²+FS²，
∴DH²+（2$\sqrt{5}$）²=$（\frac{6\sqrt{5}}{5}）^{2}+（\frac{12\sqrt{5}}{5}）^{2}$，
∴DH=4，
∴AH=4$\sqrt{5}$-4，
tan∠ANH=tan∠DHG=$\frac{AH}{AN}=\frac{DG}{DH}$，
∴$\frac{4\sqrt{5}-4}{AN}=\frac{2\sqrt{5}}{4}$，
AN=$\frac{40-8\sqrt{5}}{5}$，
过M作MR⊥AB于R，
设MR=x，则AR=2x，
tan∠ANH=tan∠DHG=$\frac{DG}{DH}=\frac{MR}{RN}$，
∴$\frac{2\sqrt{5}}{4}=\frac{x}{RN}$，
∴RN=$\frac{4x}{2\sqrt{5}}$，
由AR+RN=AN得：2x+$\frac{4x}{2\sqrt{5}}$=$\frac{40-8\sqrt{5}}{5}$，
x=6-2$\sqrt{5}$，
∴MR=6-2$\sqrt{5}$，
∴S_△MNF=S_△ANF-S_△AMN=$\frac{1}{2}$AN•FO-$\frac{1}{2}$AN•MR=$\frac{1}{2}$AN（FO-MR）=$\frac{1}{2}$×$\frac{40-8\sqrt{5}}{5}$×（$\frac{8\sqrt{5}}{5}$-6+2$\sqrt{5}$）=$\frac{96\sqrt{5}-192}{5}$．
故答案为：$\frac{96\sqrt{5}-192}{5}$．

点评 本题考查了正方形的性质、旋转的性质、三角函数、勾股定理等知识，在四边形的计算中，常运用同角的三角函数或勾股定理列式求线段的长，也可以利用证明两三角形相似求线段的长，相比较而言，利用同角的三角函数比较简单，本题计算量大，有难度．