Question

6．如图，△ABC中，AB=AC．
（1）尺规作图：作AB的垂直平分线，交BC于点D，交AB于点E．
（2）在（1）的条件下，若sinB=$\frac{3}{5}$，CD=13，求△ABC的周长．

Answer 1

分析 （1）根据基本尺规作图作出符合条件的直线即可；
（2）过A作AF⊥BC于F，连接DA，设BE=x，根据正弦和余弦的定义用x表示出AF、AD、DF，根据勾股定理列出方程，解方程即可．

解答 解：（1）如图1所示：

（2）过A作AF⊥BC于F，连接DA，

∵DE是AB的垂直平分线，
∴DA=DB，
∵在Rt△BED中，sinB=$\frac{3}{5}$，
∴cosB=$\frac{4}{5}$，
设BE=x，BD=$\frac{5}{4}$x，
则AE=BE=x，AD=BD=$\frac{5}{4}$x，
∵AB=2x，cosB=$\frac{4}{5}$，
∴AF=$\frac{6}{5}$x，BF=$\frac{8}{5}$x，
∴DF=CD-CF=13-$\frac{8}{5}$x，
在△ADF中，AD²=DF²+AF²，
即（$\frac{5}{4}$x）²=（13-$\frac{8}{5}$x）²+（$\frac{6}{5}$x）²，
解得，x₁=10.4，x₂=6.67，
△ABC的周长=AB+AC+BC=4x+$\frac{5}{4}$x+13，
当x=10.4时，△ABC的周长=67.6，
当x=6.67时，△ABC的周长=48.02．
答：△ABC的周长为48.02或67.6．

点评 本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是本题的关键．