Question

如图，AB是⊙O的直径，C是

AB

的中点，⊙O的切线BD交AC的延长线于点D，E是OB的中点，CE的延长线交切线BD于点F，AF交⊙O于点H，连接BH．
（1）求证：AC=CD；
（2）若OB=2，求BH的长．

Answer 1

考点：切线的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理

专题：

分析：（1）连接OC，由C是

AB

的中点，AB是⊙O的直径，则CO⊥AB，再由BD是⊙O的切线，得BD⊥AB，从而得出OC∥BD，即可证明AC=CD；
（2）根据点E是OB的中点，得OE=BE，可证明△COE≌△FBE（ASA），则BF=CO，即可得出BF=2，由勾股定理得出AF=

AB2+BF2

，由AB是直径，得BH⊥AF，可证明△ABF∽△BHF，即可得出BH的长．

解答：（1）证明：连接OC，
∵C是

AB

的中点，AB是⊙O的直径，
∴CO⊥AB，
∵BD是⊙O的切线，
∴BD⊥AB，
∴OC∥BD，
∵OA=OB，
∴AC=CD；

（2）解：∵E是OB的中点，
∴OE=BE，
在△COE和△FBE中，

∠CEO=∠FEB OE=BE ∠COE=∠FBE

，
∴△COE≌△FBE（ASA），
∴BF=CO，
∵OB=2，
∴BF=2，
∴AF=

AB2+BF2

=2

5

，
∵AB是直径，
∴BH⊥AF，
∴△ABF∽△BHF，
∴

AB

BH

=

AF

BF

，
∴AB•BF=AF•BH，
∴BH=

AB•BF

AF

=

4×2

2 5

=

4 5

5

．

点评：本题考查了切线的性质以及全等三角形的判定和性质、勾股定理，是中档题，难度不大．