Question

如图（1），C是路段AB的中点，两人从C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地，DA⊥AB，EB⊥AB，DE与路段AB的距离相等吗？为什么？

图1                图2

一变：如图（1），已知DA⊥AB，EB⊥AB，AC=BE，DC=EC，则DC与CE有何位置关系？并证明；
二变：如果把△BCE沿BC方向平行移动，可得图（2），若其他条件不变，DC′与CE之间的关系变吗？若不变，请说明理由。

Answer 1

解：相等；理由如下：
∵C是路段AB的中点，∴AC=BC，
又∵DA⊥AB，EB⊥AB，∴∠A=∠B=90°，
又∵两人从C同时以相同的速度出发同时到达D，E两地，∴DC=EC，
在Rt△ACD和Rt△BCE中，，∴Rt△ACD≌Rt△BCE（HL）
∴DA=EB（全等三角形的对应边相等），
连接DE，
∵DA=EB且DA⊥AB，EB⊥AB，
∴四边形ABED为矩形，
∴DE=AB；
一变：垂直；证明：∵DA⊥AB，EB⊥AB，
∴∠A=∠B=90°，在Rt△ACD和Rt△BEC中，，∴Rt△ACD≌Rt△BEC（HL），
∴∠ACD=∠E（全等三角形的对应角相等），
又∵∠E+∠BCE=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
又∵∠ACD+∠DCE+∠BCE=180°，
∴∠DCE=90°，即DC⊥EC；
二变：不变，由一变可知△AC'D≌△BEC；
∴∠AC′D=∠BEC（全等三角形的对应角相等），
又∵∠BEC+∠BCE=90°，
∴∠AC'D+∠BCE=90°，
又∵∠AC'D+∠BCE+∠COC′=180°，
∴∠COC′=90°，即DC′⊥CE。