Question

13．如图，AB是⊙O的直径，AB⊥弦CD，垂足为E，∠A=27°，CD=8cm，BE=2cm．
（1）求⊙O的半径，（2）求$\widehat{BD}$的长度（结果保留π）．

Answer 1

分析 （1）连接OC，由圆周角定理得出∠COE=45°，根据垂径定理可得CE=DE=4cm，证出△COE为等腰直角三角形，利用特殊角的三角函数可得答案；
（2）根据圆周角定理得到∠BOC=54°，于是得到$\widehat{BC}$的长度=$\frac{54•π×5}{180}$=$\frac{3}{2}$π，由于$\widehat{BC}=\widehat{BD}$，即可得到结论．

解答 解：连接OC，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE=DE=$\frac{1}{2}$CD=4cm，
∵BE=2cm，
∴OE=OC-2，
∴OC²=4²+（OC-2）²，
∴OC=∴△COE为等腰直角三角形，
∴OC=5，
即⊙O的半径为5cm；

（2）∵∠A=27°，
∴∠BOC=54°，
∴$\widehat{BC}$的长度=$\frac{54•π×5}{180}$=$\frac{3}{2}$π，
∵$\widehat{BC}=\widehat{BD}$，
∴$\widehat{BD}$的长度=$\frac{3}{2}$π．

点评 此题主要考查了圆周角定理、垂径定理、以及三角函数的应用；关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．