Question

【题目】已知直线y=﹣x+3与坐标轴分别交于点A，B，点P在抛物线y=﹣（x﹣）2+4上，能使△ABP为等腰三角形的点P的个数有（ ）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

Answer 1

【答案】A．

【解析】

试题分析：以点B为圆心线段AB长为半径做圆，交抛物线于点C、M、N点，连接AC、BC，如图所示．

令一次函数y=﹣x+3中x=0，则y=3，

∴点A的坐标为（0，3）；

令一次函数y=﹣x+3中y=0，则﹣x+3，

解得：x=，

∴点B的坐标为（，0）．

∴AB=2．

∵抛物线的对称轴为x=，

∴点C的坐标为（2，3），

∴AC=2=AB=BC，

∴△ABC为等边三角形．

令y=﹣（x﹣）2+4中y=0，则﹣（x﹣）2+4=0，

解得：x=﹣，或x=3．

∴点E的坐标为（﹣，0），点F的坐标为（3，0）．

△ABP为等腰三角形分三种情况：

①当AB=BP时，以B点为圆心，AB长度为半径做圆，与抛物线交于C、M、N三点；

②当AB=AP时，以A点为圆心，AB长度为半径做圆，与抛物线交于C、M两点，；

③当AP=BP时，作线段AB的垂直平分线，交抛物线交于C、M两点；

∴能使△ABP为等腰三角形的点P的个数有3个．

故答案选A．