Question

在平面直角坐标系xOy中：已知抛物线的对称轴为x=，设抛物线与y轴交于A点，与x轴交于B、C两点（B点在C点的左边），锐角△ABC的高BE交AO于点H．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在（1）中的抛物线上是否存在点P，使BP将△ABH的面积分成1：3两部分？如果存在，求出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由题意：x=-=-，
化简，得：m²-m-2=0
解得：m₁=-1，m₂=2；
当m=-1时，函数解析式为：y=-x²-x+1（如右图），其中△ABC不符合锐角三角形的特点，故m=-1舍去；
当m=2时，函数解析式为：y=-x²-x+6；
综上，抛物线的解析式为：y=-x²-x+6．

（2）由（1）知：抛物线的解析式为：y=-x²-x+6（如右图）；
令x=0，则y=6，即 A（0，6）；
令y=0，-x²-x+6=0，解得：x₁=3，x₂=-4；即 B（-4，0）、C（3，0）；
∠OAC=∠HBO=90°-∠ACO，又∠AEH=∠BOH=90°，
∴Rt△BOH∽Rt△AOC，
∴=，即 =，OH=2，AH=4；
在线段AH上取AM=HN=AH=1，则 M（0，5）、N（0，3）；
设直线BM的解析式为：y=kx+5，则有：-4k+5=0，k=；
∴直线BM：y=x+5．
同理，直线BN：y=x+3．
联立直线BM和抛物线y=-x²-x+6，有：
，
解得：，
∴P₁（，）；
同理，求直线BN与抛物线的交点P₂（，）；
综上，存在符合条件的P点，且坐标为：P₁（，）、P₂（，）．
分析：（1）抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴方程为：x=-，根据给出的抛物线对称轴列出关于m的方程，即可确定函数解析式，然后根据题干条件“锐角△ABC”对m值进行甄别．
（2）首先根据题意画出对应图形，易发现△BHO∽△ACO，根据对应边成比例能求出OH、AH的长；在△ABH中，以AH为底进行讨论，若BP将△ABH分成1：3两部分，那么直线BP必将线段AH分成1：3两部分，首先求出直线BP的解析式，联立抛物线的解析式即可求出对应的P点坐标．
点评：此题考查了函数解析式的确定、函数图象交点坐标的解法、图形面积的求法等知识；（2）题中，能够将三角形的面积比转换为底边比是打开解题思路的关键所在．