Question

如图，已知点A的坐标为（，3），AB⊥x轴，垂足为B，连接OA，反比例函数（k＞0）的图象与线段OA、AB分别交于点C、D，若AB=3BD．
（1）求点C的坐标；
（2）以点C为圆心，CA的倍的长为半径作圆，试判断该圆与x轴的位置关系．

Answer 1

解：（1）∵A（，3），AB=3BD，
∴D（，1），
∵点D在反比例函数y=的图象上，
∴k=，
∴反比例函数的解析式为y=，
设直线OA的解析式为y=kx（k≠0），则3=k，解得k=，
∴直线OA的解析式为y=x，
∴，
解得或（舍去），
∴C（1，）；

（2）过C点做CE垂直于OB于点E，
∵A（，3），C（1，），
∴AC==2，
∵C（1，），
∴OC=2，
∴CA=2-2，
∴CA=（-1），CE=，
∵（-1）-=-＞0，
∴该圆与x轴相交．
分析：（1）先根据A（，3），AB=3BD求出D点坐标，进而可得出反比例函数y=的解析式，用待定系数法求出直线OA的解析式，求出直线与反比例函数的交点坐标即可；
（2）过C点做CE垂直于OB于点E，由A、C两点的坐标求出AC的长，根据C点坐标得出OC的长，进而得出CA的长，再比较出CA与CE长度的大小即可．
点评：本题考查的是反比例函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式等知识，难度适中．