Question

如图1，△ABC为等边三角形，面积为1．D、E、F分别是△ABC三边上的点，且AD=BE=CF=

1

2

AB，连接DE，EF，FD，可得△DEF，并记△DEF的面积为S₁；当AD=BE=CF=

1

3

AB时，如图2，并记△DEF的面积为S₂；按照上述思路探索下去，当AD=BE=CF=

1

10

AB时，△DEF的面积S₉=

 

．

Answer 1

分析：由于无论怎么变化，△ADF、△CFE、△BDE都全等，因此△DEF是等边三角形，由于等边三角形都相似，因此△DEF∽△ABC；可根据余弦定理求出△DEF的边长，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出△DEF的面积．

解答：解：当AD=BE=CF=

1

n+1

AB时，BD=CE=AF=

n

n+1

AB，
∵∠A=∠B=∠C，
∴△ADF≌△CFE≌△BED，
∴DF=EF=DE，即△DEF是等边三角形，
∴△DEF∽△ABC，
在△BDE中，BD=

n

n+1

AB，BE=

1

n+1

AB，∠B=60°，
根据余弦定理可得：DE²=BE²+BD²-2BE•BD•cos60°，即DE²=

n2-n+1

(n+1)2

AB²，
∴S_△DEF：S_△ABC=DE²：AB²=

n2-n+1

(n+1)2

，
∵S_△ABC=1，
∴S_△DEF=S_n=

n2-n+1

(n+1)2

，
当n=9时，S_△DEF=S₉=

73

100

．

点评：本题主要考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及等边三角形的性质等知识．综合性较强，难度较大．