Question

探索题
（1）已知：如图1，△ABC为等边三角形，D为AC上一点，以BD为一边作等边△DBE，连接AE，试确定AC、AD、AE之间的关系并证明你的猜想．
（2）如果D为AC延长线上一点，如图2，试确定AC、AD、AE之间的关系，并证明你的猜想．

Answer 1

分析：（1）首先利用等边三角形的性质得出∠CBD=∠ABE，进而得出△ABE≌△CBD，即可得出AC=AD+AE；
（2）首先利用等边三角形的性质得出∠CBD=∠ABE，进而得出△ABE≌△CBD，即可得出AC=AD-AE．

解答：（1）猜想AC、AD、AE之间的关系为：AC=AD+AE，
证明：∵△ABC和△DBE均为等边三角形，
∴AB=BC，BE=BD，∠ABC=∠EBD=60°，
∵∠CBD=60°-∠ABD，∠ABE=60°-∠ABD，
∴∠CBD=∠ABE，
在△ABE和△CBD中，

AB=CB ∠ABE=∠CBD BE=BD

，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE=CD，
∵AC=AD+CD，
∴AC=AD+AE；

（2）猜想AC、AD、AE之间的关系为：AC=AD-AE，
证明：∵△ABC和△DBE均为等边三角形，
∴AB=BC，BE=BD，∠ABC=∠EBD=60°，
∵∠CBD=∠ABD-60°，∠ABE=∠ABD-60°，
∴∠CBD=∠ABE，
在△ABE和△CBD中，

AB=CB ∠ABE=∠CBD BE=BD

，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE=CD，
∵AC=AD-CD，
∴AC=AD-AE．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．