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    精英家教网如图，设P是△ABC内任一点，AD，BE，CF是过点P且分别交边BC，CA，AB于D，E，F．
    求证：
    PD
    AD
    +
    PE
    BE
    +
    PF
    CF
    =1    ．
    分析：利用同高不同底的三角形面积比等于底之比，可得S△BDP：S△ABD=DP：AD，S△CDP：S△ACD=DP：AD，
    再利用等比性质，可得S△BCP：S△ABC=PD：AD①，同理可得，S△ACP：S△ABC=PE：BE②，S△ABP：S△ABC=PF：CF③，①+②+③即可证所求．
    解答：证明：∵S△BDP：S△ABD=DP：AD，
    S△CDP：S△ACD=DP：AD，
    ∴（S△BDP+S△CDP）：（S△ABD+S△ACD）=DP：AD，
    ∴S△BCP：S△ABC=DP：AD①，
    同理S△ABP：S△ABC=PF：CF②，
    S△ACP：S△ABC=PE：BE③，
    ①+②+③，得
    （S△BCP+S△ABP+S△ACP）：S△ABC=
    DP
    AD
    +
    PF
    CF
    +
    PE
    BE
    ，
    即
    DP
    AD
    +
    PF
    CF
    +
    PE
    BE
    =1．
    点评：本题考查了三角形面积公式、等比性质，注意同高不同底的两个三角形的面积比等于它们的底之比．
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    如图，等边△ABC的边长为2
    		3
    ，以BC边所在直线为x轴，BC边上的高线AO所在的直线为y轴建立平面直角坐标系．
    （1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式．
    （2）如图，设⊙P是△ABC的内切圆，分别切AB、AC于E、F点，求阴影部分的面积．
    （3）点D为y轴上一动点，当以D点为圆心，3为半径的⊙D与直线AB、AC都相切时，试判断⊙D与（2）中⊙P的位置关系，并简要说明理由．
    （4）若（2）中⊙P的大小不变，圆心P设y轴运动，设P点坐标为（0，a），则⊙P与直线AB、AC有几种位置关系？并写出相应位置关系时a的取值范围．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图．设BC是△ABC的最长边，在此三角形内部任选一点O，AO，BO，CO分别交对边于A′，B′，C′．
    证明：（1）OA′+OB′+OC′＜BC；
    （2）OA′+OB′+OC′≤max{AA′，BB′，CC′}．

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    如图，等边△ABC的边长为数学公式，以BC边所在直线为x轴，BC边上的高线AO所在的直线为y轴建立平面直角坐标系．
    （1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式．
    （2）如图，设⊙P是△ABC的内切圆，分别切AB、AC于E、F点，求阴影部分的面积．
    （3）点D为y轴上一动点，当以D点为圆心，3为半径的⊙D与直线AB、AC都相切时，试判断⊙D与（2）中⊙P的位置关系，并简要说明理由．
    （4）若（2）中⊙P的大小不变，圆心P设y轴运动，设P点坐标为（0，a），则⊙P与直线AB、AC有几种位置关系？并写出相应位置关系时a的取值范围．

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    科目：初中数学 来源：2001年山东省济南市中考数学试卷（解析版） 题型：解答题

    如图，等边△ABC的边长为，以BC边所在直线为x轴，BC边上的高线AO所在的直线为y轴建立平面直角坐标系．
    （1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式．
    （2）如图，设⊙P是△ABC的内切圆，分别切AB、AC于E、F点，求阴影部分的面积．
    （3）点D为y轴上一动点，当以D点为圆心，3为半径的⊙D与直线AB、AC都相切时，试判断⊙D与（2）中⊙P的位置关系，并简要说明理由．
    （4）若（2）中⊙P的大小不变，圆心P设y轴运动，设P点坐标为（0，a），则⊙P与直线AB、AC有几种位置关系？并写出相应位置关系时a的取值范围．

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