Question

如图，已知反比例函数的图象与一次函数y=k₂x+b的图象交于A，B两点，A（1，n），．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？
（3）求△AOB的面积．
（4）在x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，请你直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）把点B代入，得
k₁=2，
则反比例函数的解析式是y=；
把点A代入反比例函数解析式，得n=1，则A（1，1）．
把A（1，1）和代入y=k₂x+b，得
，
解得，
则一次函数的解析式是y=2x-1；

（2）由图象，得当-＜x＜0或x＞1时，则一次函数的值大于反比例函数的值．

（3）由一次函数的解析式，得直线AB与y轴的交点是（0，-1），
则△AOB的面积=×1×1+×1×=．

（4）存在．
∵A（1，1），
∴OA=，
①若OA=OP，
则OP=，
∴点P的坐标为：（，0）或（-，0）；
②若AO=AP，
过A作AC⊥x轴于C，
∴OC=1，
∴OP=2OC=2，
∴点P的坐标为（2，0）；
③若OP=AP，
则P是OA的垂直平分线与x轴的交点，
则点P为（1，0）．
∴点P的坐标是（1，0）或（，0）或（-，0）或（2，0）．
分析：（1）首先根据点B的坐标求得反比例函数的解析式，再根据反比例函数的解析式求得点A的坐标，从而根据点A、B的坐标求得一次函数的解析式；
（2）根据图象上A、B两点即可看出当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值；
（3）要求△AOB的面积，可以分两部分求解．首先根据直线AB的解析式求得与y轴的交点坐标，进一步根据y轴所分成的两个三角形的面积求解；
（4）分两种情况考虑：①当OA是底边时，则OA的垂直平分线和x轴的交点；②当OA是腰时，则分别以O、A为圆心，以OA为半径画弧，和x轴的交点（点O除外）．
点评：此题综合考查了待定系数法求函数解析式的方法、观察图象法、三角形的面积的计算方法以及等腰三角形的判定和性质．