Question

20．如图，⊙O的两弦AB、CD相交于E，过E作BC的平行线，交AD的延长线于F，过F点作圆的切线FG，G为切点．
求证：FG=FE．

Answer 1

分析 根据平行线的性质得到∠1=∠C，由圆周角定理得到∠A=∠C，等量代换得到∠1=∠A推出△DEF∽△AEF，根据相似三角形的性质得到$\frac{EF}{AF}=\frac{DF}{EF}$，于是得到EF²=AF•DF，由切割线定理得FG²=AF•DF，求出EF²=FG²，即可得到结论．

解答 证明：∵BC∥EF，
∴∠1=∠C，
∵∠A=∠C，
∴∠1=∠A，
∵∠2=∠2，
∴△DEF∽△AEF，
∴$\frac{EF}{AF}=\frac{DF}{EF}$，
∴EF²=AF•DF，
∵FG是⊙O的切线，
由切割线定理得：FG²=AF•DF，
∴EF²=FG²，
∴FG=FE．

点评 本题考查了切线的性质，切割线定理，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．