Question

3．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，△OAB的顶点B在x轴负半轴上，OA=OB=5，tan∠AOB=$\frac{3}{4}$，点P与点A关于y轴对称，点P在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点D在反比例函数y=$\frac{k}{x}$第一象限的图象上，且△APD的面积为4，求点D的坐标．

Answer 1

分析 （1）首先过点A作AC⊥x轴，由线段OA=5，点B在x轴负半轴上，且tan∠AOB=$\frac{3}{4}$，可求得点A的坐标，进而求得P的坐标，然后利用待定系数法求得反比例函数的解析式；
（2）根据三角形面积求得D的纵坐标，代入反比例函数式，即可求得横坐标．

解答 解：（1）过点A作AC⊥x轴，
∵在Rt△AOC中，tan∠AOB=$\frac{AC}{OC}$=$\frac{3}{4}$，
设AC=3x，OC=4x，
∵OA=5，
在Rt△AOD中，根据勾股定理解得AC=3，OC=4，
∴A（-4，3），
∵点P与点A关于y轴对称，
∴P（4，3），
把P（4，3）代入反比例函数y=$\frac{k}{x}$中，
解得：k=12，
则反比例函数的解析式为y=$\frac{12}{x}$；
（2）∵A（-4，3），P（4，3），
∴AP=8，
∵△APD的面积为4，
∴D的纵坐标为4或2，
把y=4代入y=$\frac{12}{x}$求得，x=3，
把y=2代入y=$\frac{12}{x}$求得，x=6，
∴D的坐标为（3，4）或（6，2）．

点评 此题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，轴对称的性质，解直角三角形等．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．