Question

10．如图，△ABC和△ECD都是等边三角形，连接BE、AD交于O，求证：
（1）AD=BE；
（2）∠AOB=60°．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质可得AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，然后求出∠ACD=∠BCE，再利用“边角边”证明△ACD和△BCE全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
（2）根据全等三角形对应角相等可得∠CAD=∠CBE，然后求出∠OAB+∠OBA=120°，再根据三角形的内角和等于180°列式计算即可得解．

解答 证明：（1）∵△ABC和△ECD都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE，
即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE；

（2）∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，
∴∠OAB+∠OBA=∠BAC+∠CAD+∠ABO，
=∠BAC+∠CBE+∠ABO，
=∠BAC+∠ABC，
=60°+60°，
=120°，
在△ABO中，∠AOB=180°-（∠OAB+∠OBA）=180°-120°=60°，
即∠AOB=60°．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．