Question

5．如图，抛物线y=ax²-2ax+3交y轴正半轴于点C，交x轴负半轴于点A，交x轴正半轴于点B，且AB=4．
（1）求a的值；
（2）点P为第一象限抛物线上一点，设△PBC的面积为S，点P的横坐标为t，求S与t之间的函数关系式．（不用写出自变量t的取值范围）

Answer 1

分析 （1）先求出抛物线的对称轴为直线x=-$\frac{-2a}{2a}$=1，则利用对称性可确定A（-1，0），B（3，0），然后利用交点式求抛物线解析式；
（2）设P（t，-t²+2t+3），根据三角形面积公式，利用S=S_△POC+S_△POB-S_△OBC计算即可．

解答 解：（1）抛物线的对称轴为直线x=-$\frac{-2a}{2a}$=1，
∵AB=4，
∴A（-1，0），B（3，0），
设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），
即y=ax²-2ax-3a，
所以-3a=3，解得a=-1，
所以抛物线解析式为=-x²+2x+3；
（2）设P（t，-t²+2t+3），
∴S=S_△POC+S_△POB-S_△OBC
=$\frac{1}{2}$•3•t+$\frac{1}{2}$•3•（-t²+2t+3）-$\frac{1}{2}$•3•3
=-$\frac{3}{2}$t²+$\frac{9}{2}$t．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．