Question

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，AB=3，DC=7，AD=15，点P在线段AD上，若△PAB和△PDC相似，则AP的长为

9

2

，

15± 141

2

．

Answer 1

分析：当△PAB和△PDC相似，根据相似三角形的对应边的比相等可以求出，但应分分PA：PD=AB：DC和PA：CD=AB：DP两种情况进行讨论．

解答：解：设AP=x，则DP=15-x，
∵AB∥CD，∠D=90°，
∴∠A=90°．
∴∠A=∠D．
（1）当PA：PD=AB：DC时，△PAB∽△PDC，
x：（15-x）=3：7，
解得x=

9

2

；
（2）当PA：CD=AB：DP时，△APD∽△BCP，
x：7=3：（15-x），
x=

15± 141

2

．
综上可知，所求的AP长为

9

2

或

15± 141

2

．
故答案为

9

2

或

15± 141

2

．

点评：本题考查对相似三角形性质的理解，相似三角形的对应边的比相等，分类讨论是关键．