Question

矩形DEFG内接于等边三角形ABC，若EG⊥AC，则四边形ABEG与三角形CEG的面积比值为（　　）

• A、

  3

• B、2
• C、

  9

  5

• D、

  17

  8

Answer 1

考点：相似三角形的应用,等边三角形的性质,矩形的性质

专题：

分析：根据等边三角形的性质，表示出等边三角形的高以及各边长的长度，进而求出四边形与三角形的面积即可求出答案．

解答：解：作AM⊥BC，垂足为M，
∵矩形DEFG内接于等边三角形ABC，EG⊥AC，
∴∠C=60°，∠GEC=30°，∠GFC=90°，
∴∠FGC=30°，
设FC=x，则•BE=x，
∴GC=2x，（在直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半），
∴EC=4x，GF=

3

x，
则BC=AC=AB=5x，
∴AM=

(5x) 2-(2.5x) 2

=

5 3

2

x，
∴S_△EGC=

1

2

×GF×EC=

1

2

×

3

x×4x=2

3

x²，
∴S_△ABC=

1

2

×AM×BC=

1

2

×

5 3

2

x×5x=

25 3

4

x²，
∴S_{四边形ABEG}=

25 3

4

x²-2

3

x²=

17

4

3

x²，
∴四边形ABEG与三角形CEG的面积比值为：

17 3

4

x²÷2

3

x²=

17

8

，
故选：D．

点评：此题主要考查了等边三角形的性质以及解直角三角形和三角形面积求法、矩形性质等知识，利用已知用同一未知数表示出各边长度是解题关键．