Question

先求和

1

2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

(n-1)×n

，思考当n越来越大时，这个和趋向一个数，这个数是

 

；那么1+

1

1+2

+

1

1+2+3

+…+

1

1+2+3+…+n

的和趋向的一个数是

 

．

Answer 1

考点：部分分式

专题：规律型

分析：根据

1

(n-1)×n

=

1

n-1

-

1

n

于是可以化简

1

2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

(n-1)×n

为1-

1

n

，根据1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

，于是可知

1

1+2+3+…+n

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），即可知1+

1

1+2

+

1

1+2+3

+…+

1

1+2+3+…+n

=1+2（1-

1

n+1

），当n越来越大时，和趋向一个数即可求出．

解答：解：∵

1

(n-1)×n

=

1

n-1

-

1

n

，
∴

1

2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

(n-1)×n

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-…+

1

n-1

-

1

n

=1-

1

n

，
当n越来越大时，这个和趋向于1，
∵1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

，
∴

1

1+2+3+…+n

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），
∴1+

1

1+2

+

1

1+2+3

+…+

1

1+2+3+…+n

=1+2（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…-

1

n+1

），
当n越来越大时，这个和趋向于3．
故答案为：1，3．

点评：本题主要考查部分分式的知识点，解答本题的关键是把题干求和式子进行化简，此题难度不大．