Question

已知，如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC⊥BD于O，BC=13

2

，如果AB=a，CD=b，a+b=34，则a=

24

b=

10

．

Answer 1

分析：过C作CE∥DB交AB的延长线于E，作CF⊥AE，从而构建了平行四边形DCEB，则把AB+CD转化到AE边上，然后利用等腰直角三角形的性质求解．

解答：解：过C作CE∥DB交AB的延长线于E，作CF⊥AE，
∵BD⊥AC，
∴CE⊥AC，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AC=BD，
∵AB∥CD，CE∥DB，
∴四边形DBEC是平行四边形
∴BE=CD，
∴AE=AB+BE=AB+CD=34，
∵CE⊥AC，AC=BD=CE，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴△ACF、△ECF是等腰直角三角形，
∴CF=AF=EF=

1

2

×34=17，
在Rt△CBF中，根据勾股定理得：
BF=

BC2-CF2

=

(13 2 )2-172

=7，
∵BF=

1

2

（AB-CD）=7，
∴AB-CD=14，又AB+CD=34，
∴AB=24CD=10，即a=24，b=10．
故答案为：24，10．

点评：本题考查的是等腰题型的性质、等腰直角三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出平行四边形是解答此题的关键．